Stochastic models of the chemostat

We consider the modeling of the dynamics of the chemostat at its very source. The chemostat is classically represented as a system of ordinary differential equations. Our goal is to establish a stochastic model that is valid at the scale immediately preceding the one corresponding to the deterministic model. At a microscopic scale we present a pure jump stochastic model that gives rise, at the macroscopic scale, to the ordinary differential equation model. At an intermediate scale, an approximation diffusion allows us to propose a model in the form of a system of stochastic differential equations. We expound the mechanism to switch from one model to another, together with the associated simulation procedures. We also describe the domain of validity of the different models. Key-words: stochastic differential equations, chemostat, pure jump process, diffusion approximation, tau-leap method, Monte Carlo method, Gillespie algorithm ∗ [email protected] — Project–Team MERE, INRIA/INRA, UMR MISTEA, bât. 29, 2 place Viala, 34060 Montpellier cedex 06, France. † [email protected] — Université Montpellier 2 / I3M, case courrier 51, place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5; this author is associate researcher for Project–Team MERE, INRIA/INRA, UMR MISTEA. ‡ [email protected] — Université Montpellier 2 / I3M, case courrier 51, place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5. in ria -0 05 37 88 6, v er si on 2 5 Ju l 2 01 1 Modèles stochastiques du chemostat Résumé : Nous reprenons la modélisation de la dynamique du chemostat à sa source. Le chemostat est classiquement représenté par un système d’équations différentielles. Notre objectif est d’établir un modèle stochastique qui est valable à l’échelle qui précède immédiatement celle qui correspond au modèle déterministe. Partant d’une échelle microscopique, nous présentons un modèle stochastique de sauts purs qui conduit, à l’échelle macroscopique, au modèle d’équation différentielle. À une échelle intermédiaire, une approximation diffusion nous permet de proposer un modèle sous la forme d’un système d’équations différentielles stochastiques. Nous détaillons les techniques qui permettent de passer d’une échelle à une autre ainsi que de simuler ces différents modèles. Nous décrivons également les domaines de validité des différents modèles. Mots-clés : équations différentielles stochastiques, chemostat, processus de saut, approximation diffusion, méthode “tau-leap”, méthode de Monte Carlo, algorithme de Gillespie in ria -0 05 37 88 6, v er si on 2 5 Ju l 2 01 1 Stochastic models of the chemostat 3